CF1602C-Array Elimination

wwww果然跟数学有关的题对我而言都是最大的折磨

题意概括

给一个数列an,我们定义一个消去操作:

1)选择数列中的任意k个数,有x等于这些数与在一起

2)让选中的k个数各减去x

求所有k的可能取值,使得经过有限次的消去操作之后,数列中所有元素全部变为0。

注:每次选择一个k了过后,之后每次消去运算都必须使用相同的k。$ a_i<2^{32} $

题目分析

结合数位分析的简单题。因为题目条件要做与运算,很容易想到这个题跟二进制有关。我们先考虑简单情况,假设我们有这么一组数据:

1
4 4 4 4

将之转化为二进制形式:

1
100 100 100 100

可以发现,如果要使整个数列的值变为0,则应当使得每个数的所有二进制数位全部变为0。考虑到进行的是与运算,只要每次选中的所有数在某一位上的值都为1,我们就能消去这些数在这一位上的1。不过由于选择一个k后,后续都只能选用这个k值,因此为了消去所有数在某一位上的1,我们应当保证某一位上有1的数的总数应当可以被k整除。

推广来说,为了消去所有数上的每一个位数上的1,我们选中k时,应当使得每一个数位上所有1的数量和都可以被k整除,即k应当为每个二进制数位上1个数和的公约数。

由于题目给出了条件,$a_i<2^{32}$,因此我们只需要使用一个32位的数组,用于记录每一位上1的数量和,并求其所有公约数即可。

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read() {
register char c = getchar();
register int f = 1, _ = 0;
while (c > '9' || c < '0')
f = (c == '-') ? -1 : 1, c = getchar();
while (c <= '9' && c >= '0')
_ = (_ << 3) + (_ << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
return _ * f;
}
int n;
int vis[64];

inline void getNum(int x) {
int flag = 1;
while (x) {
if (x % 2 == 1)
vis[flag]++;
flag++;
x /= 2;
}
}
int temp;

signed main() {
//freopen("1.txt", "r", stdin);
int t = read();
while (t--) {
for (register int i = 0; i < 64; i++)
vis[i] = 0;
n = read();
for (register int i = 1; i <= n; i++) {
temp = read();
getNum(temp);
}
for (register int i = 1; i <= n; i++) {
int tag = 1;
for (register int j = 1; j <= 63; j++) {
if (vis[j] == 0)
continue;
if ( vis[j] % i != 0) {
tag = 0;
break;
}
}
if (tag || i == 1 )
printf("%d ", i);
}
puts("");
}
return 0;
}